Oggi, ho pensato di trattare un argomento leggero ma simpatico che vi farà comprendere che non sempre il mondo delle probabilità è lineare e comprensibile, e che spesso la realtà è contro-intuitiva, come avevo cercato di spiegare nel post Perchè i mercati sono controintuitivi.
Premetto che questo “gioco” ha scaldato l’opinione di migliaia di professori accademici e statistici, quindi sentitevi pure in diritto di pensare che il gioco che vi proporrò sembrerà sbagliato, ma abbiate il coraggio e l’umiltà di studiare il problema a fondo senza il pregiudizio di avere ragione e che il paradosso sia sbagliato (anche perché altrimenti non si chiamerebbe paradosso…).
Immaginate di essere protagonisti di un quiz televisivo, e vi viene proposto dal conduttore di scegliere una delle tre porte qui sopra rappresentate, dove dietro di esse si nascondono due capre ed una fiammante automobile nuova di zecca che se indovinerete dove si trova diventerà vostra.
La prima domanda è: quale probabilità avete di vincere l’automobile? risponderete ovviamente il 33,3%, ovvero un terzo delle possibilità
Ipotizzate di scegliere la porta di sinistra, a questo punto, il conduttore, che sa esattamente dove si trova l’automobile (e questo fattore è molto più determinante di quello che si pensa) apre la porta di centro, dove è certo che si trovi una delle due capre.
La seconda domanda è: che probabilità avete di vincere la macchina dopo che è stata aperta la porta da parte del conduttore televisivo? Molti diranno 50% perché sono rimaste due porte e questo, ma lo capirete dopo, è l’inganno che viene dalla nostra (sbagliata) percezione che abbiamo delle probabilità.
Ora il conducente vi propone di cambiare la propria scelta, visto che sapete dove si trova una capra, quindi in questo caso o di rimanere sulla porta di sinistra precedentemente scelta, oppure di scegliere quella di destra.
La terza domanda è: cambiano le probabilità di vittoria, cambiando la propria scelta?
Molti di voi diranno di no, poiché è intuitivo pensare che le probabilità siano al 50%, visto che sono due porte, ma come detto in apertura il paradosso è contro-intuitivo e quindi intuirete che vi sto per dire che invece le probabilità non solo cambiano ma addirittura raddoppiano.
Vi ricordate la prima domanda? la probabilità di vittoria iniziale era di un terzo, il fatto di avere aperto una porta non cambia la probabilità iniziale del 33,3%, semplicemente avete iniziato il percorso per scoprire se avevate avuto fortuna oppure no.
Viceversa, le altre due porte che non avete scelto possiedono ciascuna il 33,3% di vittoria, cumulativamente il 66,6% di vincere la macchina, concordate? quindi il fatto che il conduttore ne abbia aperta una vi da un vantaggio clamoroso, poiché le due porte insieme avevano il 66,6% di probabilità di avere dietro la macchina, ma avendone aperta una, il conducente vi sta offrendo su un piatto d’argento questa percentuale del 66,6%.
Quindi la risposta corretta è: cambiare la scelta fa raddoppiare le probabilità di vittoria.
A questo punto starete pensando: Daniele si è bevuto il cervello, la probabilità di vincere è il 50% e cambiare è irrilevante (soprattutto se non sono riuscito a trasmettervi bene il messaggio), oppure potrete dire, si ha ragione, ma senza esserne convinti o aver capito perché; in entrambi i casi vi invito a comprendere a fondo il problema con le due spiegazioni qui sotto e un video:
Questo diagramma di flusso, se lo analizzate fa capire che cambiare fa vincere l’auto 2 volte su 3, quindi il 66,6% delle volte, il che conferma quanto detto precedentemente.
Ecco il video tratto dalla serie televisiva Numb3rs:
ma per i più ostici ho pensato anche a questo esempio:
Immaginate che invece di tre porte ce ne siano 10; che probabilità avete di vincere una macchina invece di trovare una delle 9 capre? il 10% giusto; perfetto, ora scegliete una porta e il conduttore ne apre le altre 8 di cui sa per certo che dietro ci sono solo capre.
Rimangono aperte solo due porte, se inizialmente la probabilità da parte vostra di vincere era del 10%, le altre 9 porte possedevano cumulativamente il 90% di avere dietro l’auto; visto che il conduttore sa esattamente dove si trova l’auto (e come detto inizialmente questo fa la differenza) che probabilità ha l’unica porta rimasta chiusa oltre la vostra di avere dietro l’altra?
il 90% bravi! avete compreso il paradosso di Monty Hall..
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